线性代数温习

大一学的线性代数,遗忘的很严重,现在复习一下,从线性方程组说起

一.线性方程组

  1. 齐次线性方程组;非齐次线性方程组
  2. 要对A和x的矩阵形式熟悉, 看到Ax=0能在脑中快速过一遍计算流程
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  3. 对于齐次线性方程组,设解空间为S:
    • S对向量的加法和数乘两种运算是封闭的
    • 任意一个解都可表示为其解空间向量的线性组合
    • n阶系数矩阵的秩为r,S的维数(基的个数)为n-r
  4. 关于齐次线性方程组的解
    • 设A是m*n矩阵,则
      • Ax=0只有零解<==>r(A) = n,此时,Ax=0没有基础解系(n-r = 0)
      • Ax=0有非零解<==>r(A) \< n,此时,Ax=0有无穷多个基础解系(n-r > 0)
      • 当m\< n时,这样理解:m是方程的个数,n是未知数的个数,m\< n说明方程个数少余未知数个数,所以方程组有非零解.
    • 当A时n阶方阵时,Ax=0只有零解<==>|A|≠0,(说明r = n)
    • 当A时n阶方阵时,Ax=0有非零解<==>|A|=0,(说明r \< n)
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二.特征值与特征向量

  1. x=Ay,原坐标为x,新坐标为y,新基为正交矩阵A的列向量
  2. Aα=λα, λ是特征值, α是A的对应λ的特征向量
    • |λE-A|是关于λ的多项式,叫特征多项式
    • |λE-A|=0是特征方程
    • λ1*λ2…*λn = |A|
    • λ1+λ2…+λn = a11+a22…+ann,这是A的迹,tr(A)
  3. A与A^t有相同的特征多项式,因而有相同的特征值,但未必有相同的特征向量
  4. 方阵的相似化简
    • A~B即 A=P^(-1)AP,相似关系是等价关系,满足:自反性,对称性,传递性
    • 相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同的特征值
    • n阶方阵A可对角化的充要条件:
      • A有n个线性无关的特征向量
      • A的特征值互不相同(A的特征向量线性无关)
      • A的任意特征值λi的重数是k,且对应λi有k个线性无关的特征向量
      • 对于上/下三角矩阵来说,对角元素就是矩阵的特征值
    • 对角方阵Λ=diag(λ1,λ2…λn), Λ=P^(-1)AP, P的列向量就是A的特征向量,Λ的元素就是A的特征值

三.二次型

  1. 向量的内积定义:
    • 两个一维列向量 α=(a1,a2…an)^t, β=(b1,b2…bn)^t,
    • (α,β) =α^t*β =∑aibi
    • 内积运算满足对称性,线性性,正定型
  2. Cauchy-Schwarz不等式: (α,β)²≤(α,α)*(β,β)
  3. 向量长度||a||满足非负性,齐次性,三角不等式
  4. 正交矩阵与正交变换
    • 满足A^T*A=E的实方阵A叫做正交矩阵
      • |A|=1或者|A|=-1
      • A^t=A^(-1)
      • A^t也是正交矩阵
      • A,B都是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵
      • A是n阶正交矩阵<==>A的列向量组是一组标准正交基(每个列向量长都为1)
    • A为正交矩阵矩阵,则线性变换y=Ax成为正交变换
      • (y,y)=(Ax,Ax)=(Ax)^t*(Ax)=x^t*A^t*A*x=x^t*x=(x,x)
      • (Aα,Aβ)=(Aα)^t*(Aα)^t*(Aβ)=α^t*A^t*A*β=α^t*β=(α,β),说明对α和β做正交变换后,两向量之间的夹角不变
  5. 实对称矩阵的性质,设A为实对称矩阵
    • A的特征值都是实数
    • A的对应不同特征值的特征向量都是正交的(内积为0)
    • 存在n阶正交矩阵O,使得O^(-1)*A*O=O^t*A*O=diag(λ1,λ2…λn),λ1,λ2…λn是A的n个特征值,O的列向量A的特征向量,即实对称矩阵A一定正交相似与对角矩阵
  6. 实二次型
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    • 只含平方项的二次型为二次型的标准型
    • 合同矩阵
      • n阶矩阵A和B,存在n阶可逆矩阵P,使得B=P^tAP,则称A与B合同(正交变换也是用转置矩阵,但限制更严格,还要求O是正交矩阵,合同只要求P可逆)
      • 合同是等价关系
    • 将二次型化为标准型
      • 用正交变换(时刻牢记系数矩阵A是实对称矩阵)
        • 对于任意一个n元实二次型f=x^t*A*x,一定存在正交变换x=Oy,使得f(x1,x2…xn)=x^t*A*x=y^t*Λ*y=λ₁y₁²+λ₂y₂²…+λnyn²,其中,λ₁,λ₂,λ₃…是A的特征值,O的列向量是A的单位特征向量(可以通过求A的单位特征向量得到正交矩阵O)
      • 配方法
        • 标准型中的系数不一定是A的特征值
    • 实二次型的规范形
      • 系数只有1,-1,0,唯一(惯性定理),非零系数的个数为r(A)
      • 对称矩阵A与B合同的充要条件:有相同的秩和相同的正惯性系数
  7. 正定二次型与正定矩阵
    • 正定矩阵:实二次型f(x1,x2…xn)=x^t*A*x,如果对任意x≠0,都有x^t*A*x>0,则称f为正定二次型,称A为正定矩阵
    • 实二次型f(x1,x2…xn)=x^t*A*x是正定二次型的充要条件是:f的标准型中n个系数全为正数(即f的正惯性系数为n)
    • n阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的n个特征值全为正数
    • n阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的合同规范形为n阶单位矩阵
    • n阶实对称矩阵A正定的充要条件是:A的n个顺序主子式都为正数(霍尔维兹定理)
  8. 其它有定二次型
    • 半正定二次型:对于任意x≠0,都有f(x1,x2…xn)=x^t*A*x≥0.A为半正定矩阵
    • 负定二次型:对于任意x不等于0,都有f(x1,x2…xn)=x^t*A*x<0.A为负定矩阵
    • 半负定二次型:对于任意x不等于0,都有f(x1,x2…xn)=x^t*A*x≤0.A为半负定矩阵
    • 不属于以上类型的为不定二次型,对应不定矩阵
    • 关于半正定:
      • 实二次型f(x1,x2…xn)=x^tAx是半正定二次型的充要条件是:f的标准型中n个系数全为非负数
      • 实对称矩阵A半正定的充要条件是A的所有主子式非负
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