为什么梯度方向与等高线垂直

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有些结论用起来习以为常,却不知道背后的原理,比如为什么梯度方向与等高线垂直,弄明白后心里才舒畅
要解决这个问题首先得有等高线的数学表达式

等高线的法线

以三维空间为例, 设某曲面的表达式为$z=f(x,y)$,对于任意高度且平行于xoy的平面$z=c$来说,等高线为$\begin{cases}z=f(x,y)\\z=c\end{cases}$,也即$f(x,y)=c$,等高线上任意一点处的斜率是:$\frac {dy}{dx}$,通过$z=f(x,y)$来表示等高线上的斜率有$\frac {dy}{dx}={\frac {\partial f}{\partial x} / {\frac {\partial f}{\partial y} }}$,该点对应的法线方向为斜率的负倒数,即$- \frac {1}{\frac {dy}{dx}}=\frac {dx}{dy}=\frac {\partial f}{\partial y}/\frac{\partial f}{\partial x}=tan\theta$,其中$\theta$是法线和x轴的夹角.如果梯度的方向和等高线的法线方向一致,就证明了垂直关系

梯度向量

$z=f(x,y)$的梯度向量为$(\frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y})$,设该向量和x轴的夹角大小为$\gamma$,则夹角的正切为$tan\gamma=\frac {\partial f}{\partial y}/\frac {\partial f}{\partial x}=tan\theta$

所以梯度向量的方向和等高线的法线方向是一样的!也就是说,梯度方向和等高线垂直

参考:
知乎忆臻大神

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